一道高数题目,设z(x)=∫(上限x^2,下限0)(x^2-t)f(t)dt,其中f连续
设z(x)=∫(上限x^2,下限0)(x^2-t)f(t)dt,其中f连续,则z'(x)=为什么不能直接整个对x求导,而是要拆成相减的形式...
设z(x)=∫(上限x^2,下限0)(x^2-t)f(t)dt,其中f连续,则z'(x)=
为什么不能直接整个对x求导,而是要拆成相减的形式 展开
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z(x) = ∫(上限x^2,下限0)(x^2-t)f(t)dt, 被积函数含 x , 不能直接对 x 求导。
对 t 积分, x 相当于常量,拆分后可提到积分号外。
z(x) = x^2∫(上限x^2,下限0) f(t)dt - ∫(上限x^2,下限0) tf(t)dt
z'(x) = 2x∫(上限x^2,下限0) f(t)dt + x^2(2x)f(x^2) - 2x(x^2)f(x^2)
= 2x∫(上限x^2,下限0) f(t)dt
对 t 积分, x 相当于常量,拆分后可提到积分号外。
z(x) = x^2∫(上限x^2,下限0) f(t)dt - ∫(上限x^2,下限0) tf(t)dt
z'(x) = 2x∫(上限x^2,下限0) f(t)dt + x^2(2x)f(x^2) - 2x(x^2)f(x^2)
= 2x∫(上限x^2,下限0) f(t)dt
追问
不好意思,还不是很理解,为什么被积函数含x是不能直接对x求导的
追答
举个简单的例子。
z(x) = ∫(上限x,下限0) xt^2dt = x∫(上限x,下限0) t^2dt = x^4/3
z'(x) = (4/3)x^3
其实质是 x 与另一个 x 函数的乘积对 x 求导。
若直接求导,会得出 z'(x) 是 x*x^2 = x^3 ,当然错误。
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