高中数学 求解答?
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通径最短,选2p=4,故C。
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可以有具体步骤吗
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假设焦点为F,上交点为A,下交点为B。
题目所求为AB,即AF+BF。
根据定义,抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。所以你要画一下这个图。假设A点到准线的交点为A',同理设B'。AA'=AF,BB'=BF。
接下来,找到梯形AA'B'B,由中位线定理可以看到,AA'+BB'=2倍中位线(没做出这条线)。当AB垂直x轴时(即通径),这条中位线就是焦点F到准线的距离,此时最短(可以从图中看出)。
由此证出,焦点弦通径最短。
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2019-12-04
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c吧通径最短
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题呢?高中数学的题在哪里?😊😅?
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抛物线的方程为y²=2px=4x,p=2。
过焦点F的弦AB交抛物线于A,B两点,
设直线AB倾斜角为θ。
设A,B的坐标为(x1,y1),(x2,y2),
斜率为k=tgθ,
而焦点坐标为(p/2,0)=(1,0)。
故AB的方程为y=k(x-p/2),
将其代入抛物线的方程整理得:
4k²x²-(4pk²+8p)x+p²k²=0,
x1+x2=(pk²+2p)/k²,x1x2=p²/4。
从而弦长为:
丨AB丨=√(1+k²)√((x1+x2)²+4x1x2)
=2p/sin²θ=4/sin²θ。
当sinθ最大时,1/sinθ最小,θ=90º。
即丨AB丨最小值是4。
过焦点F的弦AB交抛物线于A,B两点,
设直线AB倾斜角为θ。
设A,B的坐标为(x1,y1),(x2,y2),
斜率为k=tgθ,
而焦点坐标为(p/2,0)=(1,0)。
故AB的方程为y=k(x-p/2),
将其代入抛物线的方程整理得:
4k²x²-(4pk²+8p)x+p²k²=0,
x1+x2=(pk²+2p)/k²,x1x2=p²/4。
从而弦长为:
丨AB丨=√(1+k²)√((x1+x2)²+4x1x2)
=2p/sin²θ=4/sin²θ。
当sinθ最大时,1/sinθ最小,θ=90º。
即丨AB丨最小值是4。
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