Question

第2，4题高数，对x求偏导下标就是x？对t求偏导，为什么下标是x，y。对求偏导，为什么有下标是y？





Answer 1

第2题解答里的符号用的确实有问题！事实上，左边对t求偏导包括两项：第一项是f(tx,ty)先对tx求偏导再乘以tx对于t的导数x，所以下标x应该改成tx.同样，第二项需要把f求偏导的下标改成ty.
第4题之所以有下标y，是因为u(x,3x)中的3x是令y＝3x的结果。既然x、y都与x有关，u对x求导就应该是两项：第一项是u(x,3x)对第一个变量x求导；第二项是u(x,3x)先对y求偏导再乘以y＝3x对于x的导数3.

Answer 2

偏导数可以交换顺序。先导x再导y，先导y再导x相等。证明如下：函数u对x的偏导数为[u(x+dx,y)-u(x,y)]/dx在dx到零的极限上得到的结果是一个新函数集为f(x,y)=极限{u(x+dx,y)-u(x,y)/dx}则f(x,y+dy)=极限{u(x+dx,y+dy)-u(x,y+dy)]/dx}定义f(x,y)作为y[f(x,y+dy)-u(x,y+dy)]/dy的偏导数在dy[f(x,y+dy)-u(x,y+dy)]/dy={限制[u(x+dx,y+dy)-u(x,y+dy)]/dx-[u(x+dx,y)-u(x,y)/dx}/dy=u(x+dx,y+dy)-u(x,y+dy)-u(x+dx,y)+u(x+dx,y)+u(x,y)]/(dx*dy)如果先通过定义计算函数u对y的偏导数，再计算x的偏导数，结果是一样的

Answer 3

以下为个人理解，有问题的话可以讨论；

个人觉得是答案过程不太对，有点混淆了图片中所写的那两个偏导的区别。