Question

已知函数f(x)=|lgx| 若0＜a＜b,且f(a)＞f(b),求证：ab＜1

Answer 1

解：易知lgx是一个单调递增的函数。

若0＜a＜b＜1,则有f(a)=-lga,f(b)=-lgb，易知f(a)＞f(b).此时有ab＜1

若1≤a＜b,则有f(a)=lga,f(b)=lgb，易知f(a)＜f(b)，不满足条件.

若0＜a＜1≤b,则有f(a)=-lga,f(b)=lgb，如果要满足f(a)＞f(b)，则有

-lga＞lgb,即lgab＜0.所以此时也有ab＜1.

综上可知当满足题设条件时ab＜1.

Answer 2

证：因为f(x)=|lgx|，
所以：f(a)=|lga|，f(b)=|lgb|
因为：f(a)＞f(b)
所以：|lga|＞|lgb|
1、若lga≥0、lgb≥0
则：lga＞lgb
即：a＞b，这与已知b＞a不符。
2、若lga＜0、lgb＜0
则：-lga＞-lgb，
即：lga＜lgb
则：a＜b，与已知b＞a相符。
此时，因为lga＜0、lgb＜0
则有：0＜a＜1、0＜b＜1
所以：ab＜1。
证毕。

Answer 3

将a,b带入f(x)得
f(a)=|lga|,f(b)=|lgb|
依题意f(a)＞f(b),得|lga|＞|lgb|
两边平方得 lg²a＞lg²b
移项得 lg²a-lg²b＞0
展开得 (lga+lgb)(lga-lgb)＞0
即 ①(lga+lgb)＞0， (lga-lgb)＞0 或② (lga+lgb)＜0，(lga-lgb)＜0
解①得lg ab＞0 lg a/b＞0即ab＞1 a/b＞1即ab＞1 a＞b（舍去）
解②得lg ab＜0 lg a/b＜0即ab＜1 a/b＜1即ab＜1 a＜b成立
所以ab＜1