Question

第55题高数，n项和求极限。3个小问题比较模糊，请详细一些，谢谢。

（答案其他都看懂了）
1.定积分定义：常数都用i替换？
2.划圈部分类似的式子还有吗？根据对称性？
3.夹逼定理：划圈的1/n+1，1/n怎么得到的？

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Answer 1

给你一些参考总结，套用其公式能得到你所要的答案，希望能帮到你，望采纳哦

追问

不好意思照片右边看不到(T ^ T)，麻烦你例子也拍下可以吗？

Answer 2

1，如果你说的是大写的i，即I，那只是为了格式好看，把积分的式子表示为I，把I去掉也是可以的

2，划圈部分是由下图推出来的的，不是对称性

3，不等式左边缩小，所以当分母取最大时，整体变小，这个分母就是bn的表达式里的第一个，不等式右边放大，因为bn所有的分母都大于n，所以取1/n就比每一项都大，望采纳

Answer 3

详细过程是，(1)小题，原式=lim(n→∞)∑1/[i+√(n²-i²)]，i=1,2，……，n。
而，通项ai=1/[i+√(n²-i²)]=(1/n)/[i/n+√(1-i²/n²)]。
当n→∞时，视"1/n"为dx、"i/n"为x∈(0,1]，根据定积分的定义，∴原式=∫(0,1)dx/[x+√(1-x²)]。此时，说“常数”用“i”亦可。“○”内，本质是两次换元过程的“缩写”。
设I=∫(0,1)dx/[x+√(1-x²)]。x=sinθ，∴I=∫(0,π/2)cosθdθ/[sinθ+cosθ]①、x=cosθ，∴I=∫(0,π/2)sinθdθ/[sinθ+cosθ]②。
由①+②，有2I=∫(0,π/2)(sinθ+cosθ)dθ/[sinθ+cosθ]=π/2。∴原式=I=π/4。
(2)小题，原式=lim(n→∞)∑√[1+cos(iπ/n)]/[n+1/i]，i=1,2，……，n。
而，通项ai=√[1+cos(iπ/n)]/[n+ 1/i]。而，√[1+cos(iπ/n)]=(√2)cos[iπ/(2n)]；当1≤i≤n时，n+1/n≤n+1/i≤n+1。∴1/(n+1)≤1/(n+1/i)≤1/(n+1/n)。
故，(√2)cos[iπ/(2n)]/(n+1)≤ai≤(√2)cos[iπ/(2n)]/(n+1/n)。
∴(√2)lim(n→∞)∑cos[iπ/(2n)]/(n+1)≤lim(n→∞)∑ai≤(√2)lim(n→∞)∑cos[iπ/(2n)]/(n+1/n)。
又，cos[iπ/(2n)]/(n+1)=[n/(n+1)](1/n)cos[iπ/(2n)]、cos[iπ/(2n)]/(n+1/n)=[n/(n+1/n)](1/n)cos[iπ/(2n)]。
仿(1),根据定积分的定义，∴(√2)lim(n→∞)[n/(n+1)]∫(0,1)cos(πx/2)dx≤原式≤(√2)lim(n→∞)[n/(n+1/n) ]∫(0,1)cos(πx/2)dx。再求解即可得结果2(√2)/π。
供参考。