Question

设X1=1，Xn=1+X（n-1）/[1+X(n-1)]，证明Xn在n趋向于无穷大时极限存在，并求其值

Answer 1

首先证明数列xn是一个递增的数列，用递推法，假设x(n)>x(n-1),那么
x(n)/(x(n)+1)>x(n-1)/(x(n-1)+1) 所以 x(n+1)>x(n),而易求的x2>x1,因此xn是一个递增数列，故其所有项数都大于1
其次证明数列xn是有界的，易知x(n-1)/(x(n-1)+1)是小于1的，因此xn<2,故数列有界，而单调有界数列是有极限的，故xn极限存在

对xn求极限 由于x(n-1)/(x(n-1)+1)极限为1 故xn的极限为2