Question

一个函数的不定积分有常数c，给它加了上下限怎么确定这个函数的定积分的结果是个唯一的数？

一个函数的不定积分有常数c，给它加了上下限怎么确定这个函数的定积分的结果是个唯一的数？
我的理解：不定积分∫f(x)dx=F(x)+c，结果是一个函数簇，而给这个不定积分加上了上下限，∫(上限b，下限a)的话，结果是一个唯一数。当求一个定积分的时候，不都是先求出原函数再把上下限对应的F(b)-F(a)吗【个人认为就是把不定积分的c去掉然后带入上下限对应值】，如果原函数F(x)可以由于常数c不同，它可以不同，那怎么能够确定到唯一的数呢？

Answer 1

不定积分的结果是一族的，是含c的，定积分是求出不定积分后用牛莱定理算出来的例如：

Answer 2

首先，你的理解是没问题的。
实际上，这个F(x)+C完全可以合并为F(x)，也就是 ∫f(x)dx=F(x)
那么对于定积分自然而然就是 F(b)-F(a)
虽然C的取值是任意的，但是一旦约束条件给定后，C就确定了，不会再变化。所以在同一个定积分运算过程中，这个C是相同的。

追问

可是在求定积分的过程中，只是 把原函数求出来，约束条件是如何能够限制这个F(x)不是其他形式的函数呢，我好像有点想通了，是不是因为F(x)是不包含常数的，不同形式的原函数，只相差在常数项c，而定积分把常数项相减抵消了，所以原函数就唯一了，或者说就算F(x)不唯一但是约束条件下的结果是相同的？

追答

对的，就是这样

Answer 3

C 是常数， 代入上下限还分别是 C， 二者之差是 0.
例 [x^2]<a, b> = b^2-a^2 , [x^2+C]<a, b> = b^2+C - (a^2+C) = b^2-a^2