Question

一道很难得数学题，高人求解！！！！！

已知y=f（x）定义域为（0，+无限大），且是单调函数，并且满足f（2）=1，f（x/y）=f（x）-f（y）.
（1）求证f（x²）=2f（x）
（2）求f（1）的值
（3）若f（x）-f（x+3）≤2，求x的取值范围

Answer 1

(1)和(2):

先求 f(1) = f(2/2) = f(2) - f(2) = 0

f(1/x) = f(1) - f(x) = -f(x)

f(x²)= f(x/(1/x)) = f(x) - f(1/x) =f(x) - (-f(x)) =2f(x)

(3) 先求出谁的函数值等于2, 由(1)就直接知道
2 = 2f(2) = f(2²) = f(4)

由于 f(1) =0, f(2) =1，f(x)为单调函数，可见其为单调增函数，
所以 (2)就等于说

f(x/(x+3)) ≤ f(4)
即
x/(x+3) ≤ 4

解些不等式即可，不过这个好像是 全部 (0, +∞)

Answer 2

给点分不行？第二问是这样的。f(2/1)=f2-f1 所以f1=0

Answer 3

（1）因为f（x）-f（y）=f（x/y），则有
f（x²）-f(x)=f(x²/x)=f(x)
f(x²)=2f(x)
（2）因为 f(x²)=2f(x)，则有f(1² )=2f(1)
f(1)=2f(1)
f(1)=0
（3）题目是不是错了？因为按照上题答案可以看出，f(x)是单调递增函数，
f(x)-f(x+3)恒小于0，x取值为定义域

Answer 4

（2）在（1）中令x=1得发f（1）=0