Question

高数，考研，数学二，这个答案解析打问号的地方为啥？28题

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Answer 1

用反证法证明之。
假若β, β+α1, …, β+αs线性相关，则存在不全为零的数k0、k1、…、ks，使得
k0β+k1(β+α1)+…+ks(β+αs)＝0.
上式两边同时左乘A，注意到α1、…、αs是基础解系，有Aαi＝0 (i＝1, 2, …, s)，得到
(k0+k1+…+ks)Aβ＝0.
到k0+k1+…+ks≠0（因为k0，k1，…，ks不全为零），而由题设又有Aβ≠0，矛盾！
所以，β，β+α1，…，β+αs线性无关。

追问

可是Ko到Ks不全为零不也有可能相加为零吗？

例如k0为1、k1为-1，其他的都为零不也行吗？

追答

若k0+k1+…+ks＝0，由于k0、k1、…、ks不全为零，必有某个kj≠0.此时由最初的
k0β+k1(β+α1)+…+ks(β+αs)＝0，
有
(k0+k1+…+ks)β+k1α1+k2α2+…+ksαs＝0，
即k1α1+k2α2+…+ksαs＝0.但kj≠0，这与α1, α2, …, αs线性无关矛盾！
所以必有k0+k1+…+ks＝0.

最后应该是“必有k0+k1+…+ks≠0”

追问

哦哦懂了谢谢！