Question

高数，第（5）题，要过程，谢谢！！

Answer 1

对应齐次微分方程通解为 C1e^(-x)+C2e^(2x)
与题给方程的右式无关联。所以可以设特解为 y=Ax^2+Bx+C
求一阶二阶导，代入微分方程中解出A，B，C
所以解就是通解和特解相加，然后再根据题给条件解出C1,C2

Answer 2

你可以试试微分算子法

Answer 3

Answer 4

求微分方程 y''-y'-2y=4x²满足y(0)=0，y'(0)=2的特解；
解：齐次方程 y''-y'-2y=0的特征方程 r²-r-2=(r-2)(r+1)=0的根r₁=-1，r₂=2；
因此齐次方程的通解为：y=C₁e^(-x)+C₂e^(2x)；
设特解为：y*=ax²+bx+c; y*'=2ax+b； y*''=2a；
代入原式得：2a-(2ax+b)-2(ax²+bx+c)=-2ax²-2(a+b)x+2a-2c=4x²;
∴-2a=4，即a=-2； -2(a+b)=-2(-2+b)=4-2b=0，故b=2；
2(a-c)=2(-2-c)=-4-2c=0，∴ c=-2；
故特解 y*=-2x²+2x-2；
于是得通解：y=C₁e^(-x)+C₂e^(2x)-2x²+2x-2；
代入初始条件y(0)=0，得 C₁+C₂=2.................①
再代入初始条件y'(0)=2，∵y'=-C₁e^(-x)+2C₂e^(2x)-4x+2,
故有 -C₁+2C₂+2=2，即有-C₁+2C₂=0............②
①+②得3C₂=2，故C₂=2/3； C₁=2C₂=4/3;
∴满足初始条件的特解为：y=(4/3)e^(-x)+(2/3)e^(2x)-2x²+2x-2;