Question

为什么现实中1/2+1/4+1/8+1/16……不等于1 ，而是大于1甚至是无穷大呢？（芝诺龟新解）

为什么现实中1/2+1/4+1/8+1/16……不等于1 ，而是大于1甚至是无穷大呢？
为了说明上面的算式我用芝诺龟说明。人龟相距1米，人追龟，距离相差从 1/2，到1/4，1/8，1/16
直到无穷。算式为 1/2+1/4+1/8+1/16……。
按极限说算式应当等于 1米 .可现实是，人不仅追上了龟而且可以超过龟，即1/2+1/4+1/8+1/16……
可以大于1米甚至是无限米，即1/2+1/4+1/8+1/16……可以大于1，甚至等于无穷大？这与1/2+1/4+1/8+1/16……
的极限为 1 矛盾，请问为什么？
自己有一个不太确定的答案了。

Answer 1

首先明确一点
1/2+1/4+1/8+1/16+...的极限就是1，不论是现实还是你的例子里面
然后我们来说明芝诺龟问题
确实如你所描述的，芝诺龟在故事当中不会被人超越因为总差那么一点距离
但是现实当中芝诺龟很容易就被人超越了
究其原因不是距离的问题而是时间的问题
因为第一次人追1/2米用了1/2秒
第二次人追1/4米用了1/4秒
....
所以人一直追乌龟的时间也是1/2+1/4+1/8+1/16+...
按照开头所说，这个极限为1
也就是说人在1s以内是永远追不上芝诺龟的
这个没有问题啊，确实第一秒以内，人确实在芝诺龟的后面
当时间到达1秒时，人就和芝诺龟并排了
超越1s的时候，人就超越芝诺龟了
这个和现实是一致的
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当时芝诺龟的悖论是因为人们对极限的概念不了解，认为无穷多的数字相加下去是无穷，那么按照芝诺龟的故事就变成了人在无穷的时间下都追不上芝诺龟。这与现实中1s就能追上是矛盾的。就是由于这个悖论，才引发了当时的人们对于极限的概念的思考。

追问

请看题，我问的是一个有错误的题看你是否看出错在何处。先说原题： 我问的是在芝诺龟问题中为什么1/2+1/4+1/8+1/16……不等于极限定义的1 ，而是可以大于1。

追答

对于你的追问是一脸懵逼。我唯一能想到的对于你的问题的另一种理解就是反证法，假设1/2+1/4+1/8+1/16……>1，但此时芝诺的故事和现实矛盾，所以1/2+1/4+1/8+1/16……必然≤1。可能我水平有限，无法理解你的逻辑。继续追问把问题解释的让我能明白一点，或者重新发问吧，这个问题估计不会再有人回答了。

Answer 2

芝诺龟问题中，之所以产生“人追不上乌龟”的结论，是因为芝诺将时间限制在“人追上乌龟”前的那一段时间，并将此段时间无限细分。
而人一旦追上乌龟，那么就突破了这个时间限制，得到的距离自然就比之前的大了。

追问

请看题，我问的是一个有错误的题看你是否看出错在何处。先说原题： 我问的是在芝诺龟问题中为什么1/2+1/4+1/8+1/16……不等于极限定义的1 ，而是可以大于1。

追答

先单独看芝诺龟中的情形：人与龟的距离不断缩小，但人追不上龟，即人“始终在乌龟的后方”，此时人相对于龟运动距离的极限就是“1”（初始相对距离）。对应到现实情境，就是人追上乌龟之前的那一段。

再看“现实中人超过龟”，这时人“已经跑在乌龟的前方”，不再对应芝诺龟的情形，因而计算的距离也不能被“1/2+1/4+1/8+...”所囊括，所以距离可以到正无穷。

因此，你的那个极限还是1，不是正无穷。