Question

线性代数，为什么含有相同向量的向量组必线性相关

顺便再问个：
一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。
这又怎么理解啊，相同位置是什么意思呢

Answer 1

线性相关的含义存在一组非零系数，使得向量组的加权和等于零
如果有相同的向量，例如向量组为a1,a1 ,a2 ,a3,....
选择系数(1 ,-1,0 0 0 0...)就可以使得向量组的加权和等于零，因此必然相关
相同位置是指每一个向量的同一个位置的元素
例如向量组包括a1,a2 ,a3,a4四个向量，每个向量包括100个元素
相同位置的意思是 a1的第9个元素，a2的第9个元素，a3的第9个元素，a4的第9个元素

追问

话说分量的定义是，这里的a1的元素是a1的分量，a1又是整个向量组的分量是吗

追答

是的

Answer 2

一个r维向量有r个分量，如X=(a1,a2.….ar)
若s个向量构成一个向量组
X1=(a11,a12,…,a1r)
X2=(a21,a22,…,a2r)
………………………………
Xs=(as1,as2,…,asr)
所谓在向量组的同一个位置增加分量，当然就是在向量组的相同位置都增加一个数或几个数。
这样利用齐次线性方程组的的理论，可以证明如果原向量组线性无关，则增加分量后的向量组也线性无关。即所谓“低维无关，则高维无关）。

Answer 3

第二个问题可以换一个表述方式，即一个向量组线性无关，再增加该向量组的向量个数，仍旧不改变其无关性。