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这样的二重积分的题,想明白了挺简单的。想不明白,就蒙圈了。
看这个图。绿色的表示一个曲面在YOZ面的投影,红色的也表示一个曲面在YOZ面的投影。
那么,两个曲面相交的交线,就形成一个闭合的曲线,在YOZ面上的投影就是洋红色的那根线段。
可见,求这个体积其实就是利用二重积分。
那么,二重积分其实是三部分组成的表达式,①是二重积分号,②是被积函数,③是积分面积的微分,那个do。
现在,积分面积肯定是两个曲面交线所围成的闭合曲线在XOY面上的闭区域,所以讲两个曲面方程联立方程组,得到x2+y2=2。可见,是个圆
于是,二重积分的积分区域D可以表示为:x∈[-√2,√2],y∈[-(√2-x2),(√2-x2)]。
现在,就差被积函数了。
还是看上面的图,结合分析二重积分的那个曲顶柱体,应该知道,被积函数其实就是高度。
那么对于两个曲面,也不知道哪个曲面在上,那个曲面在下,高度咋求呢?
去它求的哪个上哪个下,我就认为一个是上一个是下,如果计算出来是个负数,取绝对值就完事了。
于是,被积函数就直接用6-2x2-y2-(x2+2y2)表示,看结果,于是,根据二重积分定义,有
二重积分号(6-3x2-3y2)dxdy
然后根据积分区域去算结果就知道了。
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