Question

求立体体积，高等数学

Answer 1

这样的二重积分的题，想明白了挺简单的。想不明白，就蒙圈了。

看这个图。绿色的表示一个曲面在YOZ面的投影，红色的也表示一个曲面在YOZ面的投影。

那么，两个曲面相交的交线，就形成一个闭合的曲线，在YOZ面上的投影就是洋红色的那根线段。

可见，求这个体积其实就是利用二重积分。

那么，二重积分其实是三部分组成的表达式，①是二重积分号，②是被积函数，③是积分面积的微分，那个do。

现在，积分面积肯定是两个曲面交线所围成的闭合曲线在XOY面上的闭区域，所以讲两个曲面方程联立方程组，得到x2+y2=2。可见，是个圆

于是，二重积分的积分区域D可以表示为：x∈[-√2，√2]，y∈[-（√2-x2），（√2-x2）]。

现在，就差被积函数了。

还是看上面的图，结合分析二重积分的那个曲顶柱体，应该知道，被积函数其实就是高度。

那么对于两个曲面，也不知道哪个曲面在上，那个曲面在下，高度咋求呢？

去它求的哪个上哪个下，我就认为一个是上一个是下，如果计算出来是个负数，取绝对值就完事了。

于是，被积函数就直接用6-2x2-y2-（x2+2y2）表示，看结果，于是，根据二重积分定义，有

二重积分号（6-3x2-3y2）dxdy

然后根据积分区域去算结果就知道了。