Question

高数问题？

Answer 1

设y'=p，则y''=p'，故原方程可化为p'=1-p²，
dp/(p²-1) =-dx
dp/[(p-1)(p+1)] =-dx
[1/(p-1) - 1/(p+1)] dp =-2dx
ln|(p-1)/(p+1)| =-2x+C
(p-1)/(p+1)=Ce^(-2x)
y'=p=[C+e^(2x)]/[e^(2x) -C]
将x=0,y'=0代入，得C=-1
故y'==[e^(2x) -1]/[e^(2x) +1]=[e^x -e^(-x)]/[e^x+e^(-x)]
y=∫[e^x -e^(-x)]/[e^x+e^(-x)] dx
=∫ d[e^x +e^(-x)]/[e^x+e^(-x)]
=ln[e^x+e^(-x)] +C
=ln[1+e^(2x)] -x+C
将x=0，y=0代入，得C=-ln2
故所求特解为y=ln[1+e^(2x)] -x-ln2

Answer 2

学习微分就是简单地把求导中的dy/dx中的dx看成是分母，dy看成分子。
dy/dx = (sinx+5x^2)' = (sinx)' + (5x^2)' = cosx + 10x, 两边同时乘以dx有
dy = d(sinx +5x^2) = (cosx + 10x) dx

Answer 3

Answer 4

求微分方程 y''+(y')²=1满足y(0)=0和y'(0)=0的特解；

解：令y'=dy/dx=p，则y''=dy'/dx=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=pdp/dy；

代入原式得：(pdp/dy)+p²=1;

分离变量得：[p/(1-p²)]dp=dy;

积分之得：y=∫[p/(1-p²)]dp=-(1/2)∫[d(1-p²)]/(1-p²)=-(1/2)ln∣1-p²∣+lnc₁=ln[c₁/√(1-p²)];

代入初始条件y(0)=0，y'(0)=p(0)=0，得c₁=1;

即有y=ln[1/√(1-p²)]=-(1/2)ln(1-p²);

ln(1-p²)=-2y；故1-p²=e^(-2y)；即p²=(y')²=1-e^(-2y)；

∴ p=dy/dx=±√[1-e^(-2y)]

dy/√[1-e^(-2y)]=±dx；积分之得：

代入初始条件：y(0)=0得 c₂=0；

故原方程满足初始条件的特解为：e^y+√[e^(2y)-1]=e^(±x);