Question

计算二重积分∫∫ ln(x^2+y^2)dσ, 其中D:4≤x^2+y^2≤9

Answer 1

方法1：
积分域是：
x^2+y^2≤2y
x^2+y^2-2y≤0
x^2+(y-1)^2≤1
积分是在上述圆的范围内进行。
令x=pcos(θ),y=psin(θ),此圆的方程可写为：
[pcos(θ)]^2+[psin(θ)-1]^2=1
p^2-2psin(θ)+1=1
p(p-2sin(θ)=0
解得：p=0和p=2sin(θ)
显然p=2sin(θ)是此圆的极坐标方程。
对任一个给定的p,可求出此圆上对应的θ:
θ=arcsin(p/2)
利用积分函数的对称性（对y轴对称），θ的积分范围可定为[arcsin(θ),pai/2],p的范围是从0到2。将积分结果乘2，即得最后结果。
此处，pai代表圆周率。
解法2：
令x=x,y=y-1对积分域进行坐标平移，得：
x^2+y^2≤1
将积分式中的x,y也用x，y代换，得：
∫∫(x^2+（y+1）^2)dσ
再令x=pcos(θ),y=psin(θ),代入上面的积分后，p的积分范围是：[0，1]，θ的积分范围是：[0，2pai]