Question

微分和积分的几何意义？

Answer 1

设函数y
=
f(x)在x.的邻域内有定义，x0及x0
+
δx在此区间内。如果函数的增量δy
=
f(x0
+
δx)
??
f(x0)可表示为
δy
=
aδx
+
o(δx)（其中a是不依赖于δx的常数），而o(δx0)是比δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且aδx称作函数在点x0相应于自变量增量δx的微分，记作dy，即dy
=
aδx。
通常把自变量x的增量
δx称为自变量的微分，记作dx，即dx
=
δx。于是函数y
=
f(x)的微分又可记作dy
=
f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。
当自变量x改变为x+△x时，相应地函数值由f(x)改变为f(x+△x)，如果存在一个与△x无关的常数a，使f(x+△x)-f(x)和a·△x之差关于△x→0是高阶无穷小量，则称a·△x是f(x)在x的微分，记为dy，并称f(x)在x可微。可导不一定可微，可微一定可导，这时a=f′(x)。再记a·△x=dy，则dy=f′(x)dx。例如：d(sinx)=cosxdx。
几何意义：
设δx是曲线y
=
f(x)上的点m的在横坐标上的增量，δy是曲线在点m对应δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点m的切线对应δx在纵坐标上的增量。当|δx|很小时，|δy－dy|比|δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点m附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。
多元微分
同理，当自变量为多个时，可得出多元微分得定义。
运算法则：
dy=f'(x)dx
d(u+v)=du+dv
d(u-v)=du-dv
d(uv)=du·v+dv·u
d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2