在区间(0,2π)中将函数f=(π-x/)2展开为傅里叶级数
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将f(x)=x2在(0,π)上展为余弦级数。
将函数f(x)偶延拓,则有:
bn=0
a0=2/π∫(π,0)
x2dx=2/3π2
an=2/π∫(π,0)x2cosnxdx=2/π[(x2/n
)sinnx+2x/n2cosnx-(2/n3)sinnx]|(上π,下0)
=(4/n2)*(-1)^n
故x2=2/3π2+4∑(∞,n=1)
(-1)^n/n2)cosnx
傅里叶原理表明:对于任何连续测量的数字信号,都可以用不同频率的正弦波信号的无限叠加来表示。
傅里叶变换是一种分析信号的方法,它可分析信号的成分,也可用这些成分合成信号。
傅里叶级数针对的是周期性函数,傅里叶变换针对的是非周期性函数,它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加。
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函数
f(x)
在
[-π,π]
是偶函数,其傅里叶级数是余弦级数,先求傅里叶系数
a(0)
=
(2/π)∫[0,π](π²-x²)dx
=
……,
a(n)
=
(2/π)∫[0,π](π²-x²)cosnxdx
=
……,n≥1,
b(n)
=
0,n≥1,
所以,
f(x)
在
[-π,π]
上的傅里叶级数(余弦级数)为
f(x)
~
a(0)/2+∑(n≥1)a(n)cosnx
=
……,
(省略处留给你)
由于函数
f(x)
在
(-∞,+∞)
上是连续函数(作图),则该级数的和函数为
s(x)
=
[f(x-0)+f(x+0)]/2
=
f(x),x∈[-π,π]。
f(x)
在
[-π,π]
是偶函数,其傅里叶级数是余弦级数,先求傅里叶系数
a(0)
=
(2/π)∫[0,π](π²-x²)dx
=
……,
a(n)
=
(2/π)∫[0,π](π²-x²)cosnxdx
=
……,n≥1,
b(n)
=
0,n≥1,
所以,
f(x)
在
[-π,π]
上的傅里叶级数(余弦级数)为
f(x)
~
a(0)/2+∑(n≥1)a(n)cosnx
=
……,
(省略处留给你)
由于函数
f(x)
在
(-∞,+∞)
上是连续函数(作图),则该级数的和函数为
s(x)
=
[f(x-0)+f(x+0)]/2
=
f(x),x∈[-π,π]。
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我就举个例子吧,希望对你有帮助.
你先用你自己的方法求级数∑(∞,n=1)
1/(2n-1)2的和.
再看一下下面的解法:
你将f(x)=x2在(0,π)上展为余弦级数.
将函数f(x)偶延拓,则有
bn=0,
a0=2/π∫(π,0)
x2dx=2/3π2,
an=2/π∫(π,0)x2cosnxdx=2/π[(x2/n
)sinnx+2x/n2cosnx-(2/n3)sinnx]|(上π,下0)
=(4/n2)*(-1)^n,
故
x2=2/3π2+4∑(∞,n=1)(
(-1)^n/n2)cosnx
(0
你先用你自己的方法求级数∑(∞,n=1)
1/(2n-1)2的和.
再看一下下面的解法:
你将f(x)=x2在(0,π)上展为余弦级数.
将函数f(x)偶延拓,则有
bn=0,
a0=2/π∫(π,0)
x2dx=2/3π2,
an=2/π∫(π,0)x2cosnxdx=2/π[(x2/n
)sinnx+2x/n2cosnx-(2/n3)sinnx]|(上π,下0)
=(4/n2)*(-1)^n,
故
x2=2/3π2+4∑(∞,n=1)(
(-1)^n/n2)cosnx
(0
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