Question

求一道不等式证明的解题思路

Answer 1

用数学归纳法，n=2,成立。
假设n=k时命题成立:(1+1/3)(1+1/5)……(1+1/(2k-1))>根号(2k+1)/2
只需证
（1+1/2k+1）（根号(2k+1)/2）>
根号(2k+3)/2即可
即证(2k+3）/(2k+1）>根号(2k+3)/根号(2k+1)
因为大于1的数开根号后比原来小，
故(2k+3）/(2k+1）>根号(2k+3)/根号(2k+1)成立，进而原题得证

Answer 2

因为两边显然都大于0，先把两边取倒数
原式左边=3/4
*5/6
*。。。。。。。。。。（2n-3)/(2n-2)
*(2n-1)/(2n)
左边分子全部拆成√()
^2
即 √3^2/4
*√5^2/6
*..................*√(2n-3)^2/(2n-2)
*√(2n-1)^2/(2n)
*[√(2n+1)/√(2n+1)]
从最后面开始合并
{√3^2/4
*√5^2/6
*....................[√(2n-1)*√(2n+1)]/(2n)
}/√(2n+1)
但这样化简下去，最后还会剩下一个√3
，所以增加一项
1/2
，最后乘以一个2
2*{1/2
*.....................*[√(2n-1)*√(2n+1)]/(2n)
}/√(2n+1)

括号内化简得
2*{(1*√3/2)
*(√3*√5/4)*(√5*√7/6).....................*[√(2n-1)*√(2n+1)/2n]}/√(2n+1)
大括号内每一项都小于1
所以原式<
2/√(2n+1)
而刚才由于取了倒数
现在就是要证明右边>左边
右边变成了2/√(2n-1)
所以2/√(2n-1)
>2/√(2n+1)>原式左边
得证