Question

已知函数f(x)=x2-2lnx,求函数f(x)的单调区间和极值

Answer 1

1）f(x)定义域为x>0
f'(x)=2x-2/x=2(x^2-1)/x,得极值点x=1,此为极小值点
极小值f(1)=1
2）k(x)=x^2-2lnx-x^2+x-a=x-2lnx-a
记y=x-2lnx,
则y=a在[1,3]上恰有2个不同零点
y'=1-2/x=(x-2)/x,得极小值点x=2
y(2)=2-2ln2
y(1)=1
y(3)=3-2ln3
在[1,2)单调减，值域为(2-2ln2,1]
在(2,3]单调增，值域为(2-2ln2,3-2ln3]
所以y=a有2个不同零点的a值为(2-2ln2,3-2ln3]

Answer 2

首先函数的定义域x>0
f'(x)=2x-2/x
令f'(x)=0,
2x-2/x=0,
x=1或x=-1(舍去)
所以f(x)有极值f(1)=1
当0<x<1时，f'(x)=(2/x)(x^2-1)<0，函数单调递减
当x>1时，f'(x)=(2/x)(x^2-1)>0，函数单调递增