Question

1的平方加2的平方加3的平方一直加到N的平方等于多少啊

Answer 1

1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6。可以用(n+1)³-n³=3n²+3n+1累加得到。

证明过程：

根据立方差公式(a+1)³-a³=3a²+3a+1，则有：

a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1

a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1

a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1

a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1
.
·
·

a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1

等式两边相加：

（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+······+n²）+3（1+2+3+······+n）+（1+1+1+······+1）

3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+.+1）

3（1²+2²+3²+······+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n

6（1²+2²+3²+······+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]

=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)

所以1²+2²+······+n²=n（n+1)（2n+1）/6。

扩展资料：

立方差公式与立方和公式统称为立方公式，两者基本描述如下:

1、立方和公式，即两数立方和等于这两数的和与这两数平方和与这两数积的差的积。也可以说两数立方和等于这两数积与这两数差的不完全平方的积。

2、立方差公式，即两数立方差等于这两数差与这两数平方和与这两数积的和的积。也可以说，两数立方差等于两数差与这两数和的不完全平方的积 。

参考资料：百度百科_立方差公式

Answer 2

n(n+1)(2n+1)/6
方法有很多种，这里就介绍一个我觉得很好玩的做法
想像一个有圆圈构成的正三角形，
第一行1个圈，圈内的数字为1
第二行2个圈，圈内的数字都为2，
以此类推
第n行n个圈，圈内的数字都为n，
我们要求的平方和，就转化为了求这个三角形所有圈内数字的和。设这个数为r
下面将这个三角形顺时针旋转60度，得到第二个三角形
再将第二个三角形顺时针旋转60度，得到第三个三角形
然后，将这三个三角形对应的圆圈内的数字相加，
我们神奇的发现所有圈内的数字都变成了2n+1
而总共有几个圈呢，这是一个简单的等差数列求和
1+2+……+n=n(n+1)/2
于是3r=[n(n+1)/2]*(2n+1)
r=n(n+1)(2n+1)/6

Answer 3

10