Question

如果实数x,y满足x2+y2-4x+1=0,求(1)y/x的最大值(2)y-x的最小值（3）x2+y2的值

Answer 1

x^2+y^2-4x+1=0
等价变换为(x-2)^2+y^2=3
这是一个以点(2,0)为圆心,半径为√3的圆
(注:你自己画个图,然后再看下面的解法)
(1)
设y/x=k,即y=kx
k≠0
当y=kx与圆相切的时候,y/x取得极值
即y=kx与圆只有一个交点的时候,y/x取得极值
将y=kx
代入x^2+y^2-4x+1=0,
(1+k^2)x^2-4x+1=0
△=4^2-4*(1+k^2)*1=12-4k^2=0
解得k=√3
或者k=-√3
因此,y/x最大值为√3
(2)令y-x=k,当y-x=k与圆相切时,y-x取得极值
将y-x=k
代入x^2+y^2-4x+1=0,
2x^2+(2k-4)x+k^2+1=0
△=(2k-4)^2-4*2*(k^2+1)=-4(k^2+4k-2)=0
解得
k=√6-2
或者
k=-√6-2
因此,y-x的最小值为
k=-√6-2
(3)x^2+y^2-4x+1=0,
x^2+y^2=4x-1
x^2+y^2的值随x变化而变化.是不是条件给少了?

Answer 2

解：
1.
因x^2+y^2-4x+1=0可知，(x-2)^2+y^2=3,
由于对任何实数a,b,都有不等式(a+b)^2<=2(a^2+b^2),(a-b)^2<=2(a^2+b^2),
所以，[(x-2)-y]^2<=2[(x-2)^2+y^2]=6
即，-sqrt(6)<=x-y-2<=sqrt(6)
-2-sqrt(6)<=y-x<=-2+sqrt(6).
即y-x有最小值-2-sqrt(6).此时，x=2+sqrt(6)/2,y=-sqrt(6)/2.
(2)因x^2+y^2-4x+1=0,即(x-2)^2+y^2=3,所以，(x-2)^2<=3,2-sqrt(3)<=x<=2+sqrt(3).
那么x^2+y^2=4x-1在x=2-sqrt(3)时最小，最小值是7-4sqrt(3);
x^2+y^2=4x-1在x=2+sqrt(3)时最小，最小值是7+4sqrt(3).

Answer 3

这道题考察解析几何。
1.视作（x，y）与原点的斜率最大值。x2+y2-4x+1=0化为圆的方程：（x-2）平方+y2=3
可见此圆不过原点且圆心不在原点。不过，只需求出过原点斜率为k的直线与此圆的切线的斜率。用韦达定理。
设过原点斜率为k的直线满足条件。联立直线与圆解得k=正负根号三3，所以y/x=根号3
2.用参数方程写出y-x，这就是高一的问题了。三角知识解出y-x=-√2-2
3.视作（x，y）到原点的距离。这是一个取值范围，过原点的直线可取最大最小值：2-√3
评论
0
0
加载更多