Question

二重积分关于y=x对称

在计算二重积分时,
如果积分区域（底面积）关于y=x对称
被积函数也关于y=x对称
那么这个二重积分的值是不是等于2倍的D上的二重积分?
这个D是原来积分区域的一半

Answer 1

积分区域D关于直线y=-x对称

那么

1、把被积函数f(x,y)换成f(-y,-x),则在D上的二重积分值不变。

2、D=D1+D2（D1,D2关于y=-x对称）,则函数f(x,y)在D1上的积分=函数f(-y,-x)在D2上的积分。

基本介绍

积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。

但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。

Answer 2

结论成立.
被积函数f(x,y)关于y=x对称,即f(x,y)=f(y,x).
区域D被y=x分成D1与D2,则∫∫(D2) f(x,y)dxdy=∫∫(D1) f(y,x)dxdy=∫∫(D1) f(x,y)dxdy.
所以,∫∫(D) f(x,y)dxdy=∫∫(D1) f(x,y)dxdy+∫∫(D2) f(x,y)dxdy=2∫∫(D1) f(x,y)dxdy.