Question

设随机变量X~ N（μ，σ2 ），求Y=aX+b（a，b为常数， a ≠0）的概率密度。

Answer 1

回复不可以拍照。手打找符号很繁琐，容易出错。用正态分布定义X的概率密度公式直接推出结果
y=ax+b，得x=(y-b)/a=u(v)
即fY(y)=fX(u(v))*|u'(v)|
=fx((y-b)/a)*|a^-1|
=1/|a|σ√2π*e^-(y-(au+b))^2/2(σ|a)^2

Answer 2

期望乘一次项系数，方差乘一次项系数平方
期望加常数项，常数项对方差不影响
aX~N(au,a^2o^2)
aX+b~N(au+b,a^2o^2)
Y~(N(au+b,a^2o^2)
fy(y)={1/[根号(2π)(ao)]}e^{-(y-au-b)^2/(2a^2o^2)}

Answer 3

Y仍然服从正态分布，期望是au+b
方差是a平方西格玛平方

Answer 4

直接用书上的公式，答案如图所示