Question

求椭圆x^2/25+y^2/9=1上的点P,使点P与椭圆的两个焦点连线互相垂直.

Answer 1

c=√(a^2-b^2)=√(25-9)=4
所以焦点坐标为（-4，0）（4，0）
设P（x,y）则有
k1=y/(x-4)
k2=y/(x+4)
因为两条直线垂直
所以两条直线斜率乘积为-1
即k1*k2＝-1
[y/(x-4)]*[y/(x+4)]＝-1
x^2+y^2-16=0
（1）
(显然是半径为4的圆的方程)
又因为P（x，y）在椭圆上
所以x^2/25+y^2/9=1
（2）
联立（1）（2）
解得x＝±5√7/4
y＝±9/4
所以P点坐标为（5√7/4，9/4）或（5√7/4，-9/4）
或（-5√7/4，9/4）或（-5√7/4，-9/4）
（即圆与椭圆的四个交点）

Answer 2

求椭圆x^2/25+y^2/9=1上的点P,使点P与椭圆的两个焦点连线互相垂直.
解:椭园参数:a=5,b=3,c=4,焦点F1(-4,0),
F2(4,0).
将椭园方程写成参数形式:
x=5cost...(1)
y=3sint..(2)
于是点P的坐标为(5cost,3sint)
向量PF1=(5cost+4)i+(3sint)j
向量PF2=(5cost-4)i+(3sint)j
∵PF1⊥PF2
∴PF1•PF2=(5cost+4)(5cost-4)+9sin^2t=0
即25cos^2t+9sin^2t=16
即16cos^2t+9=16
∴cos^2t=7/16
∴cost=±√7/4
当cost=√7/4时,sint=±3/4,此时点P(5√7/4,±9/4).
当cost=-√7/4时,sint=±3/4,此时点P(-5√7/4,±9/4).
即P有4个位置满足题目要求.

Answer 3

c=√a2-b2=√25-9=4
所以焦点坐标为（-4，0）（4，0）
设P（x,y）则有
x^2/25+y^2/9=1
0-y/4-x*0-y/-4-x=-1(两条互相垂直的直线斜率乘积为-1）
解得x=
正负5√7/4
y=正负9/4
所以p（正负5√7/4，正负9/4）

Answer 4

用几何的方法来做
以F1,F2作为直径,做圆
由椭圆的方程可以得出圆的方程
两个方程联立
得出解x1
x2在两者之间便可．
因为知道在圆上的任意一点，与直径的连线，构成直角．
在圆的点与直径的连线，能构成钝角
若所求的圆与椭圆没有交点，则没有形成钝角的可能．
因为椭圆上的点都在圆的外面，与直径的连线构成的是锐角．
解答完毕！