Question

方程x^2 -mx+1=0的两根为α，β，且α＞0，1＜β＜2，则实数m的取值范围

Answer 1

方程是开口向上的二次方程
有2根，则△≥0即m^2-4≥0
m≥2或m≤-2
α＞0
要分5种情况讨论0＜α＜1
α=1
1＜α＜2
α=2
α＞2
令f(X)=X^2-mX+1
当0＜α＜1时
解不等式组f(1)＜0
；f(0)＞0
；f(2)＞0
得到1＜m＜5/2
因为m≥2或m≤-2
所以2＜m＜5/2
当α=1时
代入f(X)=X^2-mX+1
得到m=2
另一个根为1
不符合1＜β＜2
舍去即m≠2
当1＜α＜2时
解不等式组f(1)>0;f(2)>0
得m<1
因为m≥2或m≤-2
所以m≤-2
当α=2时
代入f(X)=X^2-mX+1
得到m=5/2
当α＞2时
解不等式组f(1)>0
;f(2)<0
得到
无解
因此综上所述
实数m的取值范围2＜m≤5/2或m≤-2