Question

泰勒公式1，2中，怎么理解直至n阶导数和n阶连续导数？

Answer 1

先利用函数ln(1+x)的幂级数展开式
ln(1+x)=∑(-1)^n
x^(n+1)/(n+1)，
n=0到∞求和
于是y=ln(1+x²)=∑(-1)^n
x^(2n+2)/(n+1)
依次求导可得
y'=∑(-1)^n
[(2n+2)/(n+1)]x^(2n+1)
y''=∑(-1)^n
[(2n+2)(2n+1)/(n+1)]x^(2n)
.......
y的k阶导数=∑(-1)^n
{[(2n+2)(2n+1)...(2n-k+3)]/(n+1)}
x^(2n-k+2)
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