Question

微积分基本定理

Answer 1

设f（x）在[a,b]上连续。F（x）是它的一个原函数。
设f（x）在[a,b]的最大值为M,最小值为m.从微积分基本定理：
F（b）－F（a）＝∫[a,b]f（x）dx.又从拉格朗日公式：
存在c∈（a,b）.F（b）－F（a）＝F′（c）（b-a）＝f（c）（b-a）.
f（c）＝（1/（b-a））∫[a,b]f（x）dx（此即f（x）在[a,b]上的平均值）
而m≤f（c）≤M,∴m≤（1/（b-a））∫[a,b]f（x）dx≤M。均值不等式成立。

Answer 2

用-y代y，方程不变，说明这是关于x轴对称的图形，
我们先求x轴上方部分面积。然后乘以2即可。
（以下pi指圆周率）
先变形：y=根号(1-x^2/a^2)（y>0,所以不需要正负号)
在-a到a上定积分：积分[-a~a]b根号(1-x^2/a^2)dx
我们注意到这没法用直接积出，所以要换元。令x=acost,则根号(1-x^2/a^2)=sint,t属于[0,pi].所以积分式变为
积分[0,pi](bsint)d(acost)
=积分[0,pi]ab(sint)d(cost)
=积分[0,pi]ab(sint)(sint)dt
=积分[0,pi]ab[(1-cos2t)/2]dt
=ab[t-sin2t/2]/2|[0,pi]
=ab[pi-0]/2-ab[0-0]/2
=ab*pi/2.
这是x轴上方的部分，所以整个图形的面积是上式的2倍。即pi*ab.