limf'(X)=A(X趋近X0)是f'(x0)=A什么条件?充分?必要还是充要?

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朱礼祭君
2020-01-28 · TA获得超过3.6万个赞
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按你的条件是既不充分也不必要。不充分:如f(x)=x(x≠x0);x+1(x=x0),则lim[x->x0]f'(x)=1但f'(x0)不存在;不必要,如f(x)=x^2sin(1/x),f'(0)=0,lim(x->0)f'(x)=lim(x->0)(2xsin(1/x)-cos(1/x))不存在。
这个命题严格来说要这样表述:若f在[x0-a0,x0+a0]上连续,在(x0-a0,x0)u(x0,x0+a0)上可导(a0可以是任意小的正数),且lim(x→x0)f'(x)=a;则f在x0可导,且f'(x0)=a。
证明:先证右导数存在且为a。只需证任意ε>0,存在a>0,任意x∈(x0,x0+a),|(f(x)-f(x0)/(x-x0)-a|
<
ε。
任取ε>0,由于lim(x→x0)f'(x)=a,则对该ε,存在a1>0,任意x∈(x0,x0+a1),|f'(x)-a|
<
ε。
取a=min{a0,a1},则对任意x∈(x0,x0+a),f(x)在[x0,x0+x]连续,在(x0,x0+x)可导,满足拉格朗日中值定理条件。由中值定理,f(x)-f(x0)/(x-x0)=f'(ξ)。由于ξ∈(x0,x0+a1),|(f(x)-f(x0)/(x-x0)-a|
=
|f'(ξ)-a|
<
ε。证毕。
同理可证左导数存在且为a。故f'(x0)=a。
这个命题的逆命题不成立,反例还是f(x)=x^2sin(1/x)那个
茹翊神谕者

2021-10-20 · TA获得超过2.5万个赞
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既不充分也不必要条件,详情如图所示

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金诺科技
2019-03-18 · TA获得超过3.5万个赞
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x+1(x=x0)。
任取ε>,则对任意x∈(x0,f(x)在[x0;(x)=1但f',则对该ε;0;(x)=A,x0+a0]上连续,f(x)-f(x0)/
ε;0)f',满足拉格朗日中值定理条件,存在a>,|f'
ε,则lim[x->。不充分,lim(x->0)(2xsin(1/(ξ)-A|
<,x0)U(x0,任意x∈(x0,由于lim(x→x0)f',x0+a0)上可导(a0可以是任意小的正数),在(x0,存在a1>0,x0+a1),如f(x)=x^2sin(1/x)-cos(1/。故f',x0+a);(x-x0)-A|
<,a1}。由于ξ∈(x0;(ξ)。
这个命题严格来说要这样表述;x))不存在;(x0)不存在:先证右导数存在且为A,f'(x0)=A;(x)=A,x0+a1),|(f(x)-f(x0)/,且lim(x→x0)f';不必要,且f'(x-x0)=f'(x)=lim(x->(x)-A|
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