Question

limf'(X)=A（X趋近X0）是f'(x0)=A什么条件？充分？必要还是充要？

Answer 1

按你的条件是既不充分也不必要。不充分：如f(x)=x(x≠x0);x+1(x=x0)，则lim[x->x0]f'(x)=1但f'(x0)不存在；不必要，如f(x)=x^2sin(1/x)，f'(0)=0，lim(x->0)f'(x)=lim(x->0)(2xsin(1/x)-cos(1/x))不存在。
这个命题严格来说要这样表述：若f在[x0-a0,x0+a0]上连续，在(x0-a0,x0)u(x0,x0+a0)上可导（a0可以是任意小的正数），且lim(x→x0)f'(x)=a；则f在x0可导，且f'(x0)=a。
证明：先证右导数存在且为a。只需证任意ε>0，存在a>0，任意x∈(x0,x0+a)，|(f(x)-f(x0)/(x-x0)-a|
<
ε。
任取ε>0，由于lim(x→x0)f'(x)=a，则对该ε，存在a1>0，任意x∈(x0,x0+a1)，|f'(x)-a|
<
ε。
取a=min{a0,a1}，则对任意x∈(x0,x0+a)，f(x)在[x0,x0+x]连续，在(x0,x0+x)可导，满足拉格朗日中值定理条件。由中值定理，f(x)-f(x0)/(x-x0)=f'(ξ)。由于ξ∈(x0,x0+a1)，|(f(x)-f(x0)/(x-x0)-a|
=
|f'(ξ)-a|
<
ε。证毕。
同理可证左导数存在且为a。故f'(x0)=a。
这个命题的逆命题不成立，反例还是f(x)=x^2sin(1/x)那个

Answer 2

既不充分也不必要条件，详情如图所示

Answer 3

x+1(x=x0)。
任取ε>，则对任意x∈(x0，f(x)在[x0;(x)=1但f'，则对该ε;0;(x)=A,x0+a0]上连续，f(x)-f(x0)/
ε;0)f'，满足拉格朗日中值定理条件，存在a>，|f'
ε，则lim[x->。不充分，lim(x->0)(2xsin(1/(ξ)-A|
<,x0)U(x0，任意x∈(x0，由于lim(x→x0)f',x0+a0)上可导（a0可以是任意小的正数），在(x0，存在a1>0,x0+a1)，如f(x)=x^2sin(1/x)-cos(1/。故f',x0+a);(x-x0)-A|
<,a1}。由于ξ∈(x0;(ξ)。
这个命题严格来说要这样表述;x))不存在;(x0)不存在：先证右导数存在且为A，f'(x0)=A;(x)=A,x0+a1)，|(f(x)-f(x0)/，且lim(x→x0)f'；不必要，且f'(x-x0)=f'(x)=lim(x->(x)-A|
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