Question

求下列级数的和函数？

Answer 1

收敛半径
r=liman/an+1=1，
则收敛域为（-1,1)
和函数：
s（x）=∞∑（n=1）(-1)^n/n*x^n，
对s（x）求导，
有s'（x）=∞∑（n=1）(-1)^n*x^(n-1), 右边为等比级数，公比为-x。
则右边=-1/（1+x）。
对s'（x）积分（从0到x），
得到s（x）=-ln（x+1）
∑x^n=x/(1-x),|x|<1,①
∑(n+1)x^n
=(d/dx)∑x^(n+1)
=(d/dx)x^2/(1-x)
=[2x(1-x)+x^2]/(1-x)^2
=(2x-x^2)/(1-x)^2,②
②-①，
∑nx^n=(2x-x^2-x+x^2)/(1-x^2)
=x/(1-x)^2
用x-1替换x, 则有
∑n(x-1)^n=(x-1)/(2-x)^2
其中x∈(0, 2)

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Answer 2

S(x)为和函数
∫[S(x)/(x-1)]=Σ(x-1)^n=(x-1)/(2-x)=-1+1/2-x
两边求一阶偏导SX=(x-1)/(2-x)^2
x属于（0，2）