Question

求一份关于相对速度与运动的合成与分解的物理竞赛讲义

Answer 1

第四节 相对速度与运动的合成和分解

1．相对速度
运动是相对的，质点相对不同的参照物有不同的运动状态，这些不同的运动状态又通过参照物之间的相对运动联系起来。
通常，将相对观察者静止的参照系称为静止参照系，将相对于观察者运动的参照系称为运动参照系。物体相对静止参照系的运动称为绝对运动，速度称为绝对速度。物体相对运动参照系的运动称为相对运动，速度称为相对速度。运动参照系相对静止参照系的运动称为牵连运动，速度称为牵连速度。绝对速度、相对速度和牵连速度的关系是

上式也可写成便于记忆的以下两个基本关系

其中 表示A物体相对C物体的速度，即绝对速度。 表示物体相对于B物体速度，即相对速度， 表示B物体相对于C物体的速度，即牵连速度。
以上关于相对速度的关系式也同样适用于求相对位移和相对加速度。在运用时一定要注意它们都是矢量式，应按照平行四边形定则进行运算。
2．运动的合成和分解
质点运动时，若同时受到几个相互独立因素的作用，而这几个因素独立作用用于质点时都可以使质点产生一个相应的运动，则此质点的运动可以看成是由这几个独立进行运动叠加而成的，这就是运动的独立性原理。在用运动的独立性原理分析一个物体同时参与两个或多个运动时，可以对每一个运动进行单独的分析，在分析的时候好像是其它运动根本不存在一样。
运动的独立性原理又叫叠加原理，是同一概念的两个方面。如果已知两个分运动，求解跟它等效的一个合运动叫做运动的合成，反之叫做运动的分解，合成和分解互为逆运算。
3．物系相关速度
正确分析物体（质点）的运动，除可以用运动的合成知识外，还可以充分利用物系相关之间的关系简捷求解。以下三个结论在实际解题中十分有用，切记。
（1） 刚性杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度。
（2） 接触物系在接触面法线方向的分速度相同，切向分速度在无相对滑动时也是相同的。
（3） 线状交叉物系交叉点的速度是相交物系双方沿双方切向运动的矢量和。

例题1．某人以2.5米/秒的速度向正西方向跑时，感到风来自正北。如他将速度增加一倍，则感到风从正西北方向吹来。求风速和风向。
解析：根据相对速度的矢量关系，即 ，做出如图1-4-1所示的速度矢量图，易得

方向是正东北风
点评：正确作出速度的矢量图，可以帮助我们迅速解答问题。这种方法有时在解题时是十分有效的。请同学们要多加练习。
例题2．一条河宽为 ，河水的速度为 ，船以对静水的速度是 。试问：
（1）为了使船到达对岸的时间最短，船头与河岸应成多少度角？最短时间是多少？到达对岸时，船在下游何处？
（2）当的船航行方向怎样时，小船所经过的路程最短？
解析：（1）由于河宽是一定的。设船头与河岸成θ角，如图1-4-2所示，则船沿河宽方向的分速度为

过河时间为
显然，当θ=90°时，船过河的时间最短，为

船到达对岸时，船在正对岸的下游

（2）当 时，显然，最短的路程即为河宽 。航向方向为偏向上游一个角度，其角度大小为 。
当 时，垂直河岸的航行方向驶向对岸是不可能的。但总可以找到一个这样的方向，使得航行的路程最短：如图1-4-3所示，设船实际航行速度为 ，与河岸夹角为 ，实际路程为 ，则有 ，要求 最小，即要求 的有最大值。在速度合成的矢量三角形 中，设 ，运用正弦定理可得

即 。此时 ，即速度的方向与船速垂直时，船才有最短路程。此时船的航行方向是：偏向上游，与水流的夹角为 ，其所经过的最短路程为

点评：船过河的问题是典型的速度合成问题，解此题时要注意船渡河的过程中水和船都在同时运动，（等时性）；其次是船从此岸到彼岸，真正起作用的是船速，与水的流速无关（互不相干性）。水的流速只影响船登陆的地点。
例题3．如图1-4-4所示，一个半径为 的环（环心为O2）立在水平面上，另一个同样大小的环（环心为O1）以速度 从前一环的旁边经过。试求当两环的环心相距为 （ ）时，两环上部的交点A的运动速度。两环均很薄，可以认为两环是在同一平面内，第二个环是紧贴着第一个环擦过去的。

解析：经过一段极短的时间 ，交点由A点移至C点，如图1-4-5所示，由于交点是在不动的环上由A点移至C点，所以交点的移动速度必沿不动圆环的切线方向。另一方面，交点的水平方向上的坐标总是与两环心连线中点的坐标相同，并且在任何一段时间内交点的水平位移总是等于环心O1的水平位移的一半，则此交点速度的水平分量是

又因为
且 ，所以

点评：这是求两个圆环交点的速度，由于其中一个圆环不动，使得问题相对简单了些。但我们也可从其中看到这类问题的处理方法，特别是这类问题中存在的几何约束，往往是解题的关键，请多加留意和总结。
例题4．两相同的正方形铁丝框如图1-4-6所示放置，并沿对角线方向分别以速度 和 向两侧运动，问两框交点 的运动速度应为多少？
解析：交点 既在 杆上也在 杆上， 应为 点分别在 和 杆上对地速度 的合成。设右框不动，左框以 向左运动， 参与了相对框架沿 的运动，随框架一起以 向左运动，速度矢量图如图1-4-7所示，则

同理，可得

因此，交点 的运动速度为

点评：通过这道例题，我们要认真领会“线状交叉物系交叉点的速度是相交物系双方沿双方切向运动的矢量和”的意义，真正掌握物系相关速度的求解方法。

赛题1．（第2届全国中学生力学竞赛初赛试题）二直杆交角为 ，交点为A，若二杆各以垂直于自身的速度 沿着纸平面运动，如图1-4-8所示。则交点A运动速度的确大小为 。

解法一：设经过 时间后， 杆运动到如图1-4-9所示的位置， 发生的位移是 ； 发生的位移是 ，A点的位移是 。在三角形 中，由数学知识可得

即
所以
解法二：假设 杆不动，则 对平面的速度在沿 杆方向的分速度是 ；同理， ，所以A点的速度为

点评：解法一是从位移的角度来求解，解法二是从速度的分解和合成的角度来求解。对同一物理问题，往往会有多种解法，我们在学习过程中，要学会更多的一题多解的方法，提高自己的解题能力。
赛题2．（1994年第11届全国高中生物理竞赛预赛试题）顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凸轮M推动，凸轮绕O轴以匀角速 转动，如图1-4-10所示，在图示的瞬时， ，凸轮轮缘与A接触处法线n与OA之间的夹角为 ，试求此瞬时顶杆AB的速度。
解法一：根据速度的定义求解。 时刻顶杆与凸轮的接触点为A，经 时间，即 时刻，接触点为凸轮上的 点（在 时间内凸轮转过 角度），如图1-4-11所示，可得

因此有速度的定义得

解法二：应用速度的合成原理求解。取动坐标系固连在凸轮上，定坐标系固定在滑槽 上，动点A（也就是顶杆AB）相对定坐标系的运动是竖直的直线运动，动点A相对动坐标系的轨道就是凸轮的轮廓线。因此，动点A对定坐标系的速度 、动点对动坐标系的速度 和动坐标系上与动点A重合点的速度 三者，根据相对运动的速度关系应组成三角形，如图1-4-12所示，因此有

点评：速度求解通常有两种途径：一是根据速度定义；二是应用速度合成原理。前者求解关键是质点的空间位置关系要弄清，后者是描述速度的参照物要明确，速度的分解与合成不能出错。
赛题3．（俄罗斯奥林匹克竞赛题）快艇系在湖面很大的湖岸边（湖岸线可认为是直线），突然快艇被松脱，风吹着快艇以恒定的速度 沿与湖岸成 的角漂去，你若沿湖岸以 行走和在水中以速度 游去，能否赶上快艇？当快艇速度为多大时总可以赶上？
解法一：人须先沿湖岸跑一段时间 ，然后再下水追艇，情况如图1-4-13所示，若使 ，即表示人能追上或超过快艇。根据余弦定理知追得上的条件为

代入数据化简、整理得

对任意确定的 有正根，即

原条件成立，人能追上。
解法二：设从O点开始运动，经 ，人到达A点，艇到达B点。将人在水中的速度 沿 方向和AB方向分解。如图1-4-14所示。显然，只有当人的速度与AB垂直时，人沿 方向的速度分量 才有最大值，这个最大值只要超过艇的速度，人就能追上。由于 ，在三角形ACE中角 ，所以角 。故 的最大值是

人能追上快艇。
点评：首先必须明确的是人游水的速度小于艇的速度，因此人必须先在岸上跑一定的距离后再游泳追艇，才有可能追上快艇。但能否追上，还要进行分析。解法一用的是纯数学的方法，解法二用的是物理方法，相对要简便一些。可见，在理解了题意后，利用物理方法（这里用到了速度分解），再结合必要的数学知识解题，常能产生意想不到的效果。

1．一木排通过码头A时，有一艘摩托艇正经过码头驶向下游距码头s1=15km处的村庄B。摩托艇在时间t=0.75小时内到达村庄；然后折回在距村庄s2=9km的D处遇到木排。求水流的速度 和摩托艇相对水的速度 。（答案： ）
2．火车停止时，车窗上雨痕向前倾斜 角。当火车以某一速度 匀速前进时，窗上雨痕向后倾斜 角。火车以较大速度 匀速前进时，窗上雨痕向后倾斜 角。设雨滴落下方向对地来说是不变的。求火车速度 与 的比。（答案： ）
3．如图1-4-15所示，质点P1以 由A向B作匀速运动，同时质点P2以 从B指向C作匀速运动，已知A、B间的距离为 ，∠ABC=α且为锐角，试确定在何时刻 ，两质点间距 最短，为多少？
〔答案： 〕
4．如图1-4-16所示，在直角墙角，立方块和三角块相互接触，若已知三角块的速度和加速度分别为 和 ，试求立方体中心的速度和加速度。（答案：
5．一架飞机以恒速 （相对于空气）沿A到B直线来回飞行，A、B之间的距离为 ，风速为 。试问
（1）如果风向是沿AB直线，忽略任何飞机转向所需的时间，计算飞机从A到B往返飞行所需的总时间。
（2）如果风向是垂直于AB直线，计算飞机从A到B往返飞行所需的总时间。
（3）如果风向是任意方向，计算飞机从A到B往返飞行所需总时间的表达式（注意，只要有任何方向的风存在，往返时间总是增加的）。
（答案： ）
6．合页构件由三个菱形组成，其边长之比为3：2：1，如图1-4-17所示。顶点 以速度 沿水平方向向右运动时。求当构件的所有角都为直角时，顶点 的速度。(答案： ， ， )