Question

设y1,y2是二阶非齐次线性微分方程的两个特解。证明:y1与y2之比不可能是常数

Answer 1

证：反证法！
要证y1，y2之比不为常数，即证明y1，y2线性无关！
假设y1，y2线性相关，设y2＝ky1，
因为y1，y2是二阶非齐次线性方程的特解，故它们都不是常数0，且因为y1≠y2，所以k≠0，1.
这样，一方面有
y1''＋py2'＋qy2＝f(x)，
另一方面又有
y2''＋py2'＋qy2＝ky1''＋pky1＝k(y1''＋py1'＋qy1)＝kf(x).
于是有f(x)＝kf(x)(k≠0，1)，即f(x)≡0，
这与非齐次方程相矛盾，所以假设错误！
因此，
y1，y2线性无关，即y1，y2之比不可能为常数！

Answer 2

y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y'+p(x)y=q(x)的两个特解，
所以，
y1'+p(x)y1=q(x)
y2'+p(x)y2=q(x)
λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，
所以，
(λy1+μy2)'+p(x)(λy1+μy2)
=λ[y1'+p(x)y1]+μ[y1'+p(x)y1]
=λq(x)+μq(x)
=q(x)
∴
λ+μ=1
λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，
所以，
(λy1-μy2)'+p(x)(λy1-μy2)
=λ[y1'+p(x)y1]-μ[y1'+p(x)y1]
=λq(x)-μq(x)
=0
∴
λ-μ=0
∴λ=μ=1/2