Question

题目：设数列{Xn}有界，又lim(n->正无穷)Yn=0,证明：lim(n->正无穷)XnYn=0.要详细的过程，定义法

Answer 1

数列{Xn}有界，则存在M>0,使得|Xn|lim(n->正无穷)Yn=0，故由极限定义
对于任意小的数e>0,存在正整数N，使得n>N
有|Yn-0|故|XnYn-0|=|XnYn|故对于任意小的数e>0,存在正整数N，使得n>N
有|XnYn-0|故由极限定义知道
lim(n->正无穷)XnYn=0

Answer 2

由xn有界，知道存在正实数a,使得|xn|≤a恒成立
则|xnyn-0|≤a|yn-0|
由lim(n-∞)yn=0知道，
对于任意正数ξ＞0，都存在实数n，使得n＞n时
|yn-0|＜ξ/a,即|xnyn-0|＜ξ恒成立
就可以证明lim(n-∞)xnyn=0

Answer 3

因为数列｛Xn}有界，
所以存在M>0,使得
|Xn|又lim(n->正无穷)Yn=0,所以对任意ε>0,存在正整数N>0,当n>N时,
有|Yn|从而,还在刚才的条件下,有
|Xn*Yn-0|=|Xn|*|Yn|根据极限定义有:lim(n->正无穷)(XnYn)=0.

Answer 4

如果存在M>0，对任意的n都有：|xn|≤M，称数列{xn}有界.
所以lim(n->
正无穷
)
Xn=M
故lim(n->正无穷)XnYn
=[lim(n->正无穷)Xn]*[lim(n->正无穷)Yn]
=M*0
=0