Question

高等数学。。数学题。。请高手解答啊。。谢谢

F(x)在[0,1]上二阶可导，且limx->0 f(x)/x=1 ,limx->1 f(x)/x-1=2 证明：1）存在ζ∈（0,1）
使f(ζ)=0

解题答案：
中。。有一段
即f(x)在[0,1]上连续，f(0)=f(1)=0,f’(0)•f’(1)＞0 存在ζ∈（0,1）使f(ζ)=0
（这是一个常用结论）

请问是什么结论

1
∫ ln(1+x^2)dx=ln2-2(1-4/π) 这个是怎样算的？？求过程
0

洛必达法则
Limf’(x)/g’(x)存在 Limf’(x)/g’(x)=A 所以 Limf(x)/g(x)=A

但不能简单的Limf(x)/g(x)=A→Limf’(x)/g’(x)=A。。
这个结论。。。
我见有些题。。Limf(x)/g(x)=A→Limf’(x)/g’(x)=A。。。可以这样用。。
有些题。。这样用会被说是错的。。。请问为什么啊？

Answer 1

既然有答案原题我就不做了，直接说你问的吧：
即f(x)在[0,1]上连续，f(0)=f(1)=0,f’(0)•f’(1)＞0 存在ζ∈（0,1）使f(ζ)=0
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因为f(x)在[0,1]上连续可微，f(x)=f(0)+f'(0)x+o(x)=f'(0)x+o(x)
f(1-x)=f(1)-f'(1)(1-x)+o(x)=-f'(1)(1-x)+o(x) (x->0)
于是f(x)*f(1-x)=-x(1-x)f'(0)f'(1)+o(x)<0 （x->0）
于是存在ζ∈（x,1-x）属于(0,1)使得f(ζ)=0
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∫(0->1)ln(1+x^2)dx=ln2-2(1-4/π)
这个积分算错了吧……
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∫(0->1)ln(1+x^2)dx
= xln(1+x^2)|(0->1)-∫(0->1)x/(1+x^2)dx <-注意这里第二项积分里面分子上的x可能被落掉了，才得到了上述错误答案
=ln2-1/2*ln(1+x^2)|(0->1)
=ln2-ln2/2
=ln2/2
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这是因为Limf’(x)/g’(x)不一定存在
比如f(x)=x+1,g(x)=x^2+1,则
Lim(x->0)f(x)/g(x)=1但是Lim(x->0)f'(x)/g'(x)=∞
如果Limf’(x)/g’(x)存在那么Limf(x)/g(x)=A→Limf’(x)/g’(x)=A
有些题直接用了可能是因为Limf’(x)/g’(x)的存在性比较显然。

Answer 2

题目在哪，没怎么回答

Answer 3

罗尔定理。