Question

x的绝对值小于1，求当n无穷大时(1+x)(1+x^2)....(1+x^n)的极限

Answer 1

二楼给出了一个x的指数按2的n次方变化时的解法。由于此题中x的指数是一个自然数而不是2的n次方，其精确解不能用初等函数表示出来，但可以表示成Jacobi
theta函数的形式。Jacobi
theta函数是一个关于z和x的无穷级数。对于你所给的极限问题，z=0。
下面的解是一个近似解。在x较小时，只需少数几项的乘积（m很小）便能得到很精确的解。
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若x=0，则上式的极限为1。下面求0<|x|<1的极限。
设：
I=[n→∞]lim(1+x)(1+x^2)....(1+x^n），...（1）
(1)式两边取对数后，可将等号右边的乘积转化为加和：
ln(I)=[i=1到n]lim∑ln(1+x^i),
...(2)
为了方便下面的论证过程，将x记为a。(2)式记为：
ln(I)=[i=1到n]lim∑ln(1+a^i),
...(3)
(3)式第n项：a(n)=ln(1+a^n)
第n-1项：a(n-1)=ln(1+a^(n-1))
当n→∞时，a(n)/a(n-1)=a^n/a^(n-1)=a
由于|a|<1，所以ln(I)的极限存在。I的极限也就存在。
I的极限可以表示为：
I≈exp{[a^(m+1)]/(1-a)}(1+a)(1+a^2)...(1+a^m)，或：
I≈exp{[x^(m+1)]/(1-x)}(1+x)(1+x^2)...(1+x^m)
上式中的m是一个有限的整数。此整数满足x^m<<1。例如，若x=0.5，取m=10，则
I≈[exp(0.5^11/0.5)](1+0.5)(1+0.5^2)...(1+0.5^10)
=1.000977039(1+0.5)(1+0.5^2)...(1+0.5^10)
=(1.000977039)(2.381904193)=2.384231