Question

这个式子怎么推出来的？幂级数求和的问题

Answer 1

从左往右推为泰勒展开式
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)²+...+f(n)(a)/n!*(x-a)^n
现在f(x)=1/(1-x)
那么求导得到f'(x)=
-1/(1-x)²
*(-1)=1/(1-x)²
f''(x)=
-2/(1-x)³
*(-1)=2/(1-x)³
以此类推得到fn(x)=n!
/(1-x)^(n+1)
代入a=0，(也就是麦克劳林公式)
那么f(0)=1，f'(0)=1，fn(0)=n!
所以解得f(x)=1+1!/1!
*x+2!/2!
*x²+...+n!/n!
*x^n
即f(x)=1+x+x²+x³+…+x^n
上面的fn(x)表示n阶导。