Question

对于函数f（x）=a-22x+1（a∈R），（Ⅰ）用单调性的定义证明函数f（x）...

对于函数f（x）=a-22x+1（a∈R）， （Ⅰ）用单调性的定义证明函数f（x）的单调性； （Ⅱ）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数，若存在，请说明理由？

Answer 1

解：（Ⅰ）函数f（x）在R上递增．
理由如下：令m＜n，则f（m）-f（n）=（a-12m+1）-（a-12n+1）
=12n+1-12m+1=2m-2n(2m+1)(2n+1)，
由于m＜n，则2m＜2n，
则f（m）-f（n）＜0，即有函数f（x）在R上递增．
（Ⅱ）假设存在实数a使函数f（x）为奇函数，
则f（0）=0，即a-1═0，即a=1．
则函数f（x）=1-22x+1=2x-12x+1，
f（-x）+f（x）=2-x-12-x+1+2x-12x+1=0，
故函数f（x）为奇函数．