Question

y”y³ 1=0,x=1时,y=1,y`=0的特解

Answer 1

一、解答过程如下
1、设 y′=p 则 y″=p(dp/dy ) y³y″+1=0 化成 y³p(dp/dy)+1=0 pdp=-1/y³ · dy
2、两边积分得 (p^2)/2=y^(-2)/2+C1
3、即 y′ ^2= 1/y^2 +C1 代入 x=1 y=1,x=1 y′=0 得 y′ ^2= 1/y^2 -1 或 y′ =√(1-y^2)/y
4、∫ydy/√[1-y^2]=∫dx -√(1-y^2)=x+C x=1 y=1,C=-1 -√(1-y^2)=x-1 

Answer 2

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xy'+y-y²lnx=0先求方程的特解：(x/y²)y'+1/y=lnx先求齐次方程（x/y²)y'+1/y=0；用y乘两边得(x/y)(dy/dx)+1=0..(1)的通解：分离变量得dy/y=-dx/x；积分之得lny=-lnx+c故齐次方程(1)的通解为y=e^(-lnx+c)=c/x；将积分常数改为x的函数u，得y=u/x(2)将(1)的两边对x取导数得y'=(xu'-u)/x²..(3)将(2)(3)代入原方程得：(xu'-u)/x+u/x-(u²/x²)lnx=0,化简并消去同类项得：u'-(u²/x²)lnx=0；再分离变量得：du/u²=[(lnx)/x]dx=lnxd(lnx)积分之得-1/u=(1/2)ln²x+c=(ln²x+2c)/2；故u=-2/(ln²x+2c)，代入(2)式即得原方程的通解为y=-2/[x(ln²x+2c)];代入初始条件：x=1，y=1，得1=-2/(2c)，故c=-1；于是得原方程的特解为y=-2/[x(ln²x-2)](3)故x=e时y=-2/(-2e)=1/e.应选A.