Question

两道线性代数问题请教给位大侠

一、设三阶实对称矩阵A的三个特征值-1，1，1 且矩阵A属于特征值-1的特征向量为a=（0,1,1）^T 求矩阵A属于特征值1·的特征向量及矩阵A

二、设A为三阶方阵，ζ1，ζ2，ζ3均为3维非零列向量，满足Aζ（k下标）=kζ（k下标），k=（1，2，3）令ζ=ζ1+ζ2+ζ3，求证：向量ζ，Aζ，A^2ζ线性无关

55555财富值不够，无法悬赏……

Answer 1

1.三个特征向量相互正交 可以解出ζ1=(0,1,-1)，ζ2=(1,0,0)
根据Aa=a可以解出A的 自己算下吧
2.根据Aζ(k)=kζ(k)
可以知道Aζ=ζ(1)+2ζ(2)+3ζ(3) A^2ζ=A(Aζ)=ζ(1)+4ζ(2)+9ζ(3)
那么(ζ,Aζ,A^2ζ)=(ζ(1),ζ(2),ζ(3))·（(1,1,1),(1,2,3),(1,4,9)）
三阶矩阵(（1,1,1）,(1,2,3),(1,4,9))的秩为3
ζ(1),ζ(2),ζ(3)线性无关的话，那么ζ,Aζ,A^2ζ线性无关