Question

这个向量空间是几维的？

（1 0 0 0 5/4）
（0 1 0 0 1/4）
（0 0 1 0 -1/4）
（0 0 0 1 -1/4）这个向量空间是几维的？矩阵的秩是4，维数也是4吗？
但是书上写的是“设有向量空间 V ，如果在 V 中能选出 r 个向量 α1, α2, …, αr，满足
(1) α1, α2, …, αr 线性无关；
(2) V 中任意一个向量都能由 α1, α2, …, αr 线性表示；
那么称向量组 α1, α2, …,αr 是向量空间 V 的一个基．
r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间.”那维数不就是5了吗？

Answer 1

设有向量空间 V ，如果在 V 中能选出 r 个向量 α1, α2, …, αr，满足
(1) α1, α2, …, αr 线性无关；
(2) V 中任意一个向量都能由 α1, α2, …, αr 线性表示；
那么称向量组 α1, α2, …,αr 是向量空间 V 的一个基．

现在题目给出的
（1 0 0 0 5/4）
（0 1 0 0 1/4）
（0 0 1 0 -1/4）
（0 0 0 1 -1/4）
中，只能找到这四个线性无关的向量，所以这里面r是等于4的啊，当然就是四位空间了。
注意，空间的维数，指的不是每个向量有几个数字组成，而是最多能找到几个线性无关的向量。
这个空间中，每个向量是由5个数字组成的，但是只能找到4个线性无关的向量（因为题目只给出4个，其他的向量只能由这4个线性组合而成）。所以当然就是4维了。

Answer 2

你列出的矩阵秩确实是4，下面是维数的定义，二者没有直接联系。

Answer 3

你怎么可能选出5个向量满足线性无关？秩是4当然最多只有4个向量线性无关

Answer 4

向量空间是五维的，由上述4个向量生成的子空间是四维的。
可以吗？