Question

高一数学必修2的空间几何体的辅助线怎么做

Answer 1

第一：作线
PA垂直平面ABCD,AB=2，PC与平面ABCD成45°角，EF分别为PA，PB的中点，求异面直线DE与AF所成角的大小的余切值
向左转|向右转
比如这题，看似无交点的两条直线的夹角可以做平行线进行解决：在AB的延长线上作一点G，使得AG=EF=1，则有GE平行于AF，则有直线AE与DE的夹角为：∠GED。AE为DE在平面ABP上的投影，则有COS∠GED=COS∠AED*COS∠AEG=根号3/3*根号2/2=根号6/6。
注：COS∠GED=COS∠AED*COS∠AEG这个公式在解决二面角的问题上面有奇效。
　　第一：作面
　　AB垂直平面BCD，BD垂直CD，若AB=BC=2BD，求二面角B-AC-D的正弦值。
向左转|向右转
过D作与直线AC垂直的平面DEF，交AC于E，BC于F。
AC垂直平面CEF，所以DF垂直AC，AB垂直平面BDC，所以DF垂直AB。
所以DF垂直平面ABC，所以DF垂直BC。则△BDC中存在：BD*CD=DF*BC
设BD=1，则AB=BC=2。所以CD=根号3。所以DF=根号3/2。
同理在△ADC中推理可得：根号30/4
则：二面角B-AC-D的正弦值=sin角DEF=DF/DE=根号10/5。
注：作与二面角棱垂直的平面式关键。
　　第三：作投影

还是第二题，我们换种解法。
向左转|向右转
过D作DE垂直BC。DE垂直BC，AB垂直DE。所以DE垂直平面ABC。
所以△ADC在平面ABC上的投影为△AEC。
利用公式：cosD-AC-E=S△AEC/S△ADC=AD*DC/（AB*CE）
只需要求出线长即可得到cosD-AC-E的值，再转换成正弦值即可。
注：cosD-AC-E=S△AEC/S△ADC是关键，这个方法做选择题和填空题的效果最好。但缺点是不一定可以用。
　　第四：作坐标
也就是向量，向量方法也很快。做填空选择效果也很好。