Question

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数ω＞0使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x...

设函数f（x）的定义域为R，若存在常数ω＞0使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，则称f（x）为“条件约束函数”．现给出下列函数： ①f（x）=4x； ②f（x）=x2+2； ③f（x）=2xx2-2x+5； ④f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有f（x1）-f（x2）≤4|x1-x2|． 其中是“条件约束函数”的序号是_____（写出符合条件的全部序号）．

Answer 1

解：对于①，f（x）=4x，易知存在ω=4＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，符合题意；是“条件约束函数”．
对于②用F函数的定义不难发现：因为x→0时，|f(x)x|→∞，所以不存在常数ω＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，不符合题意，不是“条件约束函数”．
对于③，因为|f（x）|2|x|x2-2x+5=2|x|(x-1)2+4≤12|x|，所以存在常数ω=2＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，③是“条件约束函数”．
对于④，f（x）是定义在实数集R上的奇函数，故|f（x）|是偶函数，因而由|f（x1）-f（x2）|≤4|x1-x2|得到，
|f（x）|≤4|x|成立，存在ω≥4＞0，使|f（x）|≤ω|x|对一切实数x均成立，符合题意．
是“条件约束函数”．
故答案为：①③④．