Question

x^2+y^2)^3≤y^4

整数对(x,y) 满足等式 x^2 + x = y^4 + y^3 + y^2 + y.列出所可能的整数对(x,y)?
答案为何等于(-1,-1),(0,-1),(-1,0),(0,0),(6,2),(5,2)呢?

Answer 1

y^4+y^3+y^2+y=y(y+1)(y^2+1)； x^2+x=x(x+1)；由题意得：y(y+1)(y^2+1)=x(x+1)①；显然当x=0或-1、y=0或-1时,①式两端均为0,满足①式,这样共有四种组合能使①式成立：｛x=0,y=0｝、｛x=0,y=-1｝、｛x=-1,y=0｝、｛x=-1,y=-1｝；另外①式可改写为(y^2+y)(y^+1)=x(x+1)②,②式右端为两个相邻整数的乘积,所以当②式左端也为相邻整数的乘积时可能有解；显然当y=0或2时,②式左端为相邻整数的乘积；y=0的解上面已经给出；y=2时,②式左端的乘积为30,而30=5×6=(-6)×(-5),所以这时x=5或-6,这样又有两种组合：｛x=5,y=2｝、｛x=-6,y=2｝；所以本题共有6组整数解(毕).