Question

高数证明题？

f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内存在二阶导数，并设f(0)=f(1)=0，maxf(x)=2，证明存在ζ∈(0，1)，使f''(ζ)≤-16
我写的前面步骤，设x=k∈(0,1)为最大值点，在此处按拉格朗日余项泰勒公式展开至n=1，
有f(x)=f(k)+f'(k)(x-k)+1/2f''(ζ)(x-k)²
然后带入x=0,1；f(k)=2；f'(k)=0有
0=2+1/2f''(ζ)k²
0=2+1/2f''(ζ)(1-k)²
我不知道步骤对不对，如果没问题后面怎么导出f''(ζ)≤-16的结论？不对的话又应该怎么做？

Answer 1

1、关于这道高数证明题，用泰勒中值定理，过程见上图。

2、这道高数题证明过程中前面你证的是对的，但最后两个式子是有错的。因为存在的点的区间是不一样的，所以，应该用不同的存在点表示。

3、最后，这道高数证明题，再将k分情况讨论，放缩表达式，就可以证出。

具体的这高数证明及说明见上。

追问

k分情况讨论为什么是(0,1/2]，(1/2,1)

追答

此题要证明存在一点，满足不等式。
将k分情况讨论是(0,1/2]，(1/2,1)，目的是找到存在的点。

k在(0,1/2]，代图中倒数第五行放缩，得要证的式子。

k在(1/2,1)，代图中倒数第四行放缩，得要证的式子。

Answer 2

思路应该是使用3次罗尔定理，根据题意在(0,1)内存在一点 a,使得，f'(a)=0,在 (0,a),（a,1）内再使用罗尔定理，然后使用泰勒展开式，供参考