已知a.b.c为正实数,a+b+c=1求证(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8
a+b+c≥3*3次根号下abc所以abc《1/9又因为1/a+1/b+1/c≥3*3次根号下(1/abc)是为什么是初中学的吗,我高一...
a+b+c≥3*3次根号下abc 所以abc《1/9 又因为1/a+1/b+1/c≥3*3次根号下(1/abc) 是为什么 是初中学的吗,我高一
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由a+b+c=1得1-a=b+c,1-b=a+c,1-c=a+b,
(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)=(1-a)/a*(1-b)/b*(1-c)/c=(b+c)/a*(a+c)/b*(a+b)/c=(b+c)*(a+c)*(a+b)/abc
因为a.b.c属于r+,所以b+c≥2√bc(当且仅当b=c时取等),a+c≥2√ac(当且仅当a=c时取等),
a+b≥2√ab(当且仅当a=b时取等)
则(b+c)*(a+c)*(a+b)/abc≥8√bc*√ac*√ab/abc=8
即(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8
(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)=(1-a)/a*(1-b)/b*(1-c)/c=(b+c)/a*(a+c)/b*(a+b)/c=(b+c)*(a+c)*(a+b)/abc
因为a.b.c属于r+,所以b+c≥2√bc(当且仅当b=c时取等),a+c≥2√ac(当且仅当a=c时取等),
a+b≥2√ab(当且仅当a=b时取等)
则(b+c)*(a+c)*(a+b)/abc≥8√bc*√ac*√ab/abc=8
即(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8
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