Question

已知a.b.c为正实数，a+b+c=1求证（1/a-1）（1/b-1）（1/c-1）≥8

a+b+c≥3*3次根号下abc 所以abc《1/9 又因为1/a+1/b+1/c≥3*3次根号下(1/abc) 是为什么 是初中学的吗，我高一

Answer 1

简单计算一下，答案如图所示

Answer 2

由a+b+c=1得1-a=b+c,1-b=a+c,1-c=a+b,
(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)=（1-a)/a*(1-b)/b*(1-c)/c=(b+c)/a*(a+c)/b*(a+b)/c=(b+c)*(a+c)*(a+b)/abc
因为a.b.c属于r+，所以b+c≥2√bc（当且仅当b=c时取等）,a+c≥2√ac（当且仅当a=c时取等）,
a+b≥2√ab（当且仅当a=b时取等）
则(b+c)*(a+c)*(a+b)/abc≥8√bc*√ac*√ab／abc=8
即(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8