高数题!可降阶的高阶微分方程y''+(y')^2=1 ;y(0)=0 ;y'(0...

高数题!可降阶的高阶微分方程y''+(y')^2=1;y(0)=0;y'(0)=0特解.... 高数题!可降阶的高阶微分方程 y''+(y')^2=1 ;y(0)=0 ;y'(0)=0特解. 展开
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丰弼资谷秋
2019-02-03 · TA获得超过3977个赞
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令y'=p,则y"=pdp/dy代入方程得:pdp/dy+p^2=1pdp/(1-p^2)=dyd(-p^2)/(1-p^2)=-2dy积分:ln|1-p^2|=-2y+C1即1-p^2=Ce^(-2y)代入y(0)=0,p(0)=0,得:C=1故p^2=1-e^(-2y)dy/√[1-e^(-2y)]=±dx记t=√(1-e^(-2y)),则y=-0.5ln(1-t^2),dy=t/(1-t^2)dt上式化为:dt/(1-t^2)=±dxdt*[1/(1-t)+1/(1+t)]=±2dx积分:ln|(1+t)/(1-t)|=±2x+C2(1+t)/(1-t)=Ce^(±2x)x=0时,y=0,t=0,代入得:C=1故有:[1+√(1-e^(-2y))]/[1-√(1-e^(-2y))
]=e^(±2x)
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