Question

在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为正方形,SB⊥底面ABCD,SB=AB,设...

在四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为正方形,SB⊥底面ABCD,SB=AB,设Q为SD的中点,M为AB的中点. （1）求证：MQ‖平面SBC； （2）求证：平面SDM⊥平面SCD；

Answer 1

（1）以BA为x轴,BC为y轴,BS为z轴建系设SB=AB=1,则A（1,0,0）S（0,0,1）D(1,1,0)则M（0.5,0,0）Q（0.5,0.5,0.5）所以向量MQ=（0,0.5,0.5）平面SBC的一条法向量为u=（1,0,0）向量MQ×u=0,所以MQ‖平面SBC（2）向量MD=（0.5,1,0）,向量MS=(-0.5,0,1),向量CS=（0,-1,1）,向量CD=（1,0,0）设平面SDM的法向量为n=（a,b,c）,设平面SCD的法向量为m=（d,e,f）则0.5a+b=0,-0.5a+c=0,解得：a=-2b=2c,所以n=（2,-1,1）同理,-e+f=0,d=0,解得：d=0,e=f,所以m=（0,1,1）因为m×n=0,所以平面SDM⊥平面SCD
解法二：（1）证明：取SC的中点R,连结QR、BR,因为Q为SD的中点,所以QR‖DC且QR=1/2DC.在正方形ABCD中,M为AB的中点,∴BM‖DC且BM=1/2DC.∴四边形MQRB为平行四边形,∴MQ‖BR,又BR属于平面SBC,∴MQ‖平面SBC.（2）证明：因为SB=AB,所以ΔSBC为等腰三角形,又R为SC中点,∴BR⊥SC,∵MQ‖BR
∴MQ⊥SC.∵CD⊥BC,∴CD⊥BR,（三垂线定理）∴MQ⊥CD,SC∩CD=C,∴MQ⊥平面SCD,而MQ属于平面SDM
∴平面SDM⊥平面SCD.