Question

圆的证明题

如图，AB是⊙O的弦，PA 、PB是⊙O的切线，M是AB的中点，过点P引⊙O的割线于C 、D两点
求证：∠CMA=∠DMA

Answer 1

证明：

连接AO和BO，连接DO

PA和PB都是切线，AB是切点弦，

∴PO⊥AB

根据题意，得

PA2=PC*PD

在直角△PAO中，AM是斜边的高，

∴PA2=PM*PO

∴PC*PD=PM*PO

即PC/PO=PM/PD

又∵∠CPM=∠OPD

∴△CPM∽△OPD

∴∠PMC=∠PDO……①（这个很重要，一会儿用）

在直角△PAO中，AM是斜边的高，

∴AO2=OM*OP

又∵OA=OD

∴OD2=OM*OP

即OM/OD=OD/OP

又∵∠MOD=∠DOP

∴△DOM∽△POD

∴∠DMO=∠PDO……②

结合①和②，得∠PMC=∠DMO

∵AM⊥PO

∴∠AMP=∠AMO=90°

∴∠AMP-∠PMC=∠AMO-∠DMO

∴∠AMC=∠AMD

得证

谢谢